數列

忘記是什麼是候開始學數列了



不過一些數字排成一列，倒是很常見



像[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]好像小學以前就常看到了



數字排成一列沒什麼學問



有趣之處在於它們之間的關係



像[1,2,4,8,16,32]每項是前項乘以2

像[1,1,2,3,5,8,13]每項是前兩項加相



最近帶"數學之美"課程的主題是數列



上次讓他們自創複雜的數列，有些人還滿high的



遠比國中教科書用的等比、等差更複雜、豐富



儘量少現成的術語、Σ、Δ等符號，要介紹概念還滿容易的



而數列懂了，函數就很簡單



因為數列就是一種函數



精確地說，數列就是定義域是一些整數的函數





為了帶課，重新思考了數列間的運算、遞迴形式和一般形式，以及和分、差分。

和分、差分的概念對小六生是不太難，不過相關的技術細節用到太多符號，所以只提一點點。

（其實我也沒修過差分方程...所知有限）



以下是自己溫故知新的收獲，記錄在網誌上，免得遺忘：



考慮微分方程 dy/dx = y，顯然指數函數e^x是它的解。

那麼，應該有一個數列滿足差分方程ΔA/Δx = A，其中Δx = 1



那就是A = 2^x



A = [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...]

ΔA = [2-1, 4-2, 8-4, 16-8, 32-16, 64-32, ...]

= [1, 2, 4, 8, 16, 32, ...] = A



因為兩數列相除，等於對應項相除，所以差分方程ΔA = A可以寫成ΔA/A= 1，其中ΔA/A可稱為"變化比率"。



"變化率"大家都很熟悉，就像速度之於位移、邊際成本之於成本，像等差數列[1, 3, 5, 7, 9]的變化率是2，你加1，我就加2。。



不過，變化率不一定夠用。同樣是加了100，如果本來只有1，那是加了很多；如果本來有10000，那加100也不算什麼。



像學商的人要算投資報酬率，並不是看賺多少，而是看賺多少再除以投資多少。



所以"變化比率"是看加了幾倍，把ΔA除以A，得到。ΔA/A = 1代表加的倍數是個常數1。



每次加1倍，就是每次乘以2，放大率（乘的倍數） = 1 + ΔA/A必為真。



所以放大率是常數2。這就代表A是公比為2的等比數列了。



同樣，在(dy/dx)/y也可以代表函數的變化比率。這樣就有更多的具體事物可用微分方程描述了。