Z7

Z7是一個美妙的世界



有正數、負數和0，有距離。卻不能比大小。



正數不比負數大！



昨天一直在想Z7的性質，得到這個結果，記下來以免忘掉



讓我想到＜非線性感動＞裡的詩句：噢不，這世界並非良序





或許真實世界比較像Z7，雖然有正負、善惡、好壞，但不是排成一線、任兩者都能比大小吧?



人的價值能放在一條數線R上衡量嗎? 無法。甚至也分析成歐式空間R^n中的一點吧...





Z7是0,1,2,3,4,5,6排成的一圈。裡面的" = "是"對7同餘"的意思



6= -1, 7 = 0，8 = 1, 9 = 2, 依此類推



由此可定義完整的加法。

由於7是質數，{1,2,3,4,5,6}對乘法成群，因此Z7還可以定義完整的乘法。



Z7是一個代數體，可以做加減乘除。





Z7有距離函數m，這很直觀。令m(x,y) = min(x-y, y-x)。稍微證一下就能確定它符合距離函數的要求：



1. m(x,x) = 0

2. m(x,y) > 0 if x /= y

3. m(x,y) = m(y,x)

4. m(x,y) <= m(x,z) + m(y,z)



這裡的 >, <= 都是用整數Z的>, <=來比較。因為Z7本身不能比大小。





如果Z7能比大小，當然0<1。<br />


那麼



0+1<1+1, 0+2<1+2,...<br />


所以0<1<2<3<4<6<7，但7 = 0，所以0 < 0（矛盾）<br />




那麼不能比大小的話，正數和負數怎麼定義？



{1,2,4}是正數，{3,5,6} = {-4,-2,-1}是負數



why?



因為正負數必須滿足『正正得正、正負得負、負負得正』



1*1 = 1, 1*2 = 2, 1*4 = 4

2*1 = 2, 2*2 = 4, 2*4 = 1

4*1 = 4, 4*2 = 1, 4*4 = 2



所以說{1,2,4}中任何數，乘以{1,2,4}中任何數，都還在{1,2,4}中（封閉性）



所以{1,2,4}滿足有限、封閉，所以是({1,2,3,4,5,6}, *)的子群



又因為*滿足交換律，交換群中的子群都是正規子群，



故{1,2,4}是({1,2,3,4,5,6}, *)的正規子群，元素數3 = 6/2



所以商群{{1,2,4}, {3,5,6}}是二元群，滿足『正正得正、正負得負、負負得正』



不信的話乘乘看就知道了^^





接著可以定義開根號。



根號(x) = {y | y^2 = x, y <- {1,2,4}}，很容易證明根號x的值是唯一的



y^2 = z^2



y^2/z^2 = 1 （Z7是代數體，可以除。y/z := y * z^(-1)）



(y/z)^2 = 1



y^z = 1 or y^z = -1



所以y有兩個，只差正負號，所以只有一個y是正數，屬於{1,2,4}。



所以絕對值abs(x) = 根號(x^2)也有意義了。但是abs(x-y) /= m(x,y)，使威力變弱了



但是絕對值不能代表和0點的距離（本以為可以，但花了很久才發現不行）



結果看來Z7大概是不能定準的（用abs(x) , m(x,0)定準都不滿足三角不等式）



印證了一老話：圓無端。





不過，寫到這裡發現，如果要硬來的話



可以將商群{{1,2,4},{3,5,6}}再放個{0}，使它同構於Z3 = {-1,0,1}，這樣就可以用abs(x)定準了



也就是說



norm(0) = 0

norm(x) = 1 if x /= 0



任何東西離原點0的距離都是1



於是由之而生的距離函數



m'(x,y) = norm(x-y) = 1 if x /= y

m'(x,y) = norm(x-y) = 0 if x = y



再令新的絕對值abs'(x) = norm(x)



看起來一切性質都滿足了，但...

這樣的定義，充其量也就只能代表等不等於了...





有正數、負數和0，有距離。卻不能比大小。怪哉Z7。





p.s. Z7中的7應該寫在下標，但是不知道怎麼打出來^^"



p.s.s. m(x,y) = min(x-y, y-x)，中的min是先射到整數Z，才取較小的值，再射回Z7，否則Z7中不能比大小，當然就沒有min可言



p.s.s.s.( {1,2,3,4,5,6}, *)的術語是U(7)，代表所有和7互質的數，對乘法形成的群