最大面積問題

這個週末突然想到這個老問題：同樣周長的圖形，怎樣的形狀面積會最大呢？



正方形比其他的長方形大，這很好證，但是要證明『圓形』是所有同樣周長的圖形中，面積最大的，就不那麼容易了



我想了一個晚上又半個上午，中間當然有照常睡個覺



經過一些迂迴的試探後，終於證完了



我把後捨去的迂迴試探留在最後，先寫最後的證明綱要：



在固定周長的前題下：



1. 證明凹形不可能有最大面積（這樣只要討論凸形就夠了，捨去一推折來折去、莫名其妙的圖形）



hint: 凹進去的部分翻出來，周長一樣，面積更大



2. 證明凸形都可以用多邊形來趨近（這樣只要討論多邊形就夠了，彎彎的圖形就看成多邊形序列的極限）



hint: 設計一種逼近法，然後對任意凸形取個內點，去證明夠多次之後就能包到



3. 證明一多邊形，如果有相鄰兩邊不等長，就不可能有最大面積（這個很強，因為這代表正多邊形最好，只要考慮正多邊形就夠了）



hint: 考慮同底等高的三角形，證明等腰三角形周長最小即可



4. 證明邊數愈多的正多邊形，面積愈大（這說明正多邊形也不夠好，很接近目標了）



hint: 考慮外接圓，再用三角函數即可，這部份很簡單



5. 因為圓形是邊數遞增之正多邊形的極限，所以圓形最大



hint: 把任何凸形都寫成一個收歛到它的多邊形序列，然後證明對任意這種序列，我可以找到一組邊數遞增的正多邊形序列，每項的面積都比較大





其實我在想的時候並沒有那麼順。要怎麼把討論範圍從多邊形縮小成正多邊形，費了很大的力氣。



我原本的想法是利用質心的性質，把討論範圍從多邊形縮小成『點對稱的多邊形』



但是就卡住了，點對稱的多邊形要推到正多邊形，很困難...結果沒想出來，反而是用『相鄰兩邊不等長，就不可能有最大面積』繞路解決了





我覺得有了大綱後，證明的內容看起來都沒什麼，但是去構思的過程，卻很剌激。



不知道路在哪裡，也不知道會不會碰壁，但是要一塊一塊去試。就算有經驗的人，能避開一些障礙，也還是免不了這種『摸著石頭過河』的過程