八角先生與四維立方體

『座標的世界-3』，從『什麼是證明？』開始。數學知識的特別之處在，不訴諸權威。任何一個合理的懷疑著，在證明的理路下，終將無可懷疑。若沒有證明的過程，數學知識就不是知識，只是迷信罷了。



在舉例時有用到三角形內角和為什麼是180度的例子。有人在我不接受『課本寫的』、『老師教的』這種敷衍的答案後，竟想出（或回憶起）用複製成平行四邊形、再移成長方形的方式來證。這可不簡單！就算是國高中生，也未必答得出來。



而且這種方法我還是第一次聽到，比我會的方式複雜，但較具體。以後講解時應派得上用場。





接著，用八角先生的故事當作新主題的開場。經過數次改編過後，它已成了我最喜歡的『數學+地穴寓言』故事。（雖然或許可以試試看改成八角太太，來平衡性別刻版印象？）



0維那個自言自語的點、1維那隻找世界盡頭的毛蟲、2維的平面國、3維自大又有局限的球、3維的世界連到我們在的地方...八角先生的疑惑、他和小八角最後的對白...大家都很喜歡這個故事。



三維距離公式對他們來講，要想像的東西、符號和程序都有點太多，學起來相當吃力。但是成功搞懂之後的成就感也很大，且可以看到『公式推廣』是怎麼回事。





之後重頭戲在研究四維方體。四維物體我們是看不到全貌的，但是像立方體這樣簡單的東西，仍然可以研究其性質，像是有幾個頂點、幾條邊。



有些人會在這個主題上被打動，對『抽象的數學世界』產生熱情。我在國中時也曾為了四維物體的樣貌、性質、如何表示苦思良久，還試著自己發明表示法。



雖然從現在的角度來看，那個表示法並不成熟，但是在當時對自己而言，是相當有意義的挑戰、創見與突破。會去認真思考、去創造，當然就是因為這個主題打動了我。



我對『生也有涯，知也無涯』的詮釋是這樣的：我的生命有局限，但是知識沒有局限。我活在3維，但是可以研究4維（和其他無法直接觀察）的世界。這種過程就是一種切實的體驗。